Chapt-1.误差
一个大题一个选择题（2.29上课口述）
掌握重点
- 掌握方法误差和舍入误差的概念
- 熟练掌握误差、误差限和有效数字的概念
- 掌握有效数字位与误差限之间的关系
- 熟练掌握相对误差和相对误差限的概念
- 掌握相对误差与有效数字的关系
- 了解数值计算中的误差估计(误差传递)
- 掌握数值计算中应该注意的问题
方法误差与舍入误差
模型误差:将数学模型与实际问题之间出现的误差(不予讨论)
观测误差:根据观测得到的物理量的误差(不予讨论)
方法误差:用数值方法求解得到的近似解和精确解之间的误差（比如说用泰勒展开近似就会产生方法误差）
舍入误差:（由于计算机字长有限带来的误差）
- 原始数据在计算机中表示会产生误差,计算过程又可能产生新的误差
- 由原始数据或机器中的十进制数转为二进制数产生的初始误差
误差、误差限和有效数字
误差:设$x$为准确值,$x^$为$x$的一个近似值,则称$e^ = x^* - x$为近似值的绝对误差,简称误差.
误差限:一般我们无法算出准确值$x$,也不能算出误差$e^$的准确值,只能估算误差的绝对值不超过某个正数$\epsilon^$,也就是误差绝对值的一个上界,$\epsilon ^*$称为近似值的误差限。
有效数字：如果近似值$x^$的误差限是某一位的半个单位，该位到$x^$的第一位非零数字共有n位，就说$x^*$有n位有效数字。
有效数字位和误差限的关系
按照四舍五入原则得到的近似值的误差不会超过末尾数字的半个单位。
若近似值 $x^$ 的误差限是某一位的半个单位,该位到 $x^$ 的第一位非零数字共有n位,就说 $x^$ 有 $n$ 位有效数字.它可表示为 \(x^* = ±10^{m}\times(a_1+a_2\times10^{-1}+...+an\times10^{-n-1})\) 其中 $a_i(i=1,2,…,n)$ 是 $0$ 到 $9$ 中的一个数字, $a_1\neq0$, $m$ 为整数,且 \(\vert \frac{x-x^*}{x^*}\vert \leqslant \frac{1}{2}\times10^{m-n+1}\) 例如,取 $x^=3.14$ 作 $\pi$ 的近似值, $x^$ 就有 $3$ 位有效数字,取 $x^=3.1416\approx\pi$, $x^*$ 就有 $5$ 位有效数字.
相对误差和相对误差限
相对误差：近似值的误差$e^$与准确值$x$的比值。 \(\frac{e^x}{x} = \frac{x^* -x}{x^*}\) 通常取$e^_r = \frac{e^}{x^} = \frac{x^* - x}{x^}$作为相对误差，条件是$e^_r = \frac{e^x}{x^*}$较小。
相对误差的绝对值上界叫做相对误差限，记作$\epsilon^_r = \frac{\epsilon^}{\vert x^*\vert }$
相对误差与有效数字的关系
有效位数越多，相对误差限越小
设近似数 $x^$ 表示为 \(x^* = \pm 10^{m}\times(a_1+a_2\times10^{-1}+\cdots+a_i\times10^{-n-1})\) 其中 $a_i(i=1,2,…,l)$ 是 $0$ 到 $9$ 中的一个数字，$a_1\neq0$ ，$m$ 为整数。若 $x^$ 有 $n$ 位有效数字，则其相对误差限 \(\varepsilon^*\leq\frac{1}{2a_1}\times10^{-(n-1)}\)
反之，若 $x^$ 的相对误差限 $\varepsilon^\leq\frac{1}{2(a_1+1)}\times10^{-(n-1)}$ ，则 $x^*$至少具有n位有效数字。
数值计算中的误差估计(误差传递)
设两个近似数$x^{}_{1}$与$x^{}{2}$的误差限分别为$ε(x^{*}{1})$及$ε(x^{*}_{2})$，则它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别满足不等式
==以下公式用泰勒展开来记忆，$df = f_x \Delta x + f_y \Delta y$，其中$\Delta x$ 就等于误差限$\epsilon (x^*)$。==
\(\varepsilon (x^{*}_{1}\pm x^{*}_{2})\leq\varepsilon (x^{*}_{1})+\varepsilon (x^{*}_{2})
\\
\varepsilon (x^{*}_{1}x^{*}_{2})\leq\vert {x_{1}^{*}}\vert \varepsilon (x^{*}_{2})+\vert x_{2}^{2}\vert \varepsilon (x^{*}_{1})
\\
\varepsilon (x^{*}_{1}/x^{*}_{2})\leq\frac{\vert {x_{1}^{*}}\vert \varepsilon (x^{*}_{2})+\vert {x_{2}^{*}}\vert \varepsilon (x^{*}_{1})}{\vert x_{2}^*\vert ^{2}},x^*_2\neq0\)
更一般的情况采用泰勒展开来证明，误差限
\(\epsilon(A^*) \approx \Sigma^n_{k = 1}\vert (\frac{\partial f}{\partial x_k})^*\vert \epsilon (x^*_k)\)
数值计算中应该注意的问题
- 算法的
数值稳定性：如果一个算法输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则为不稳定的。 病态问题和条件数：如果一个数值问题本身输入数据有误差，引起输出数据相对误差很大，就是病态问题。相对误差比值$C_P$为计算函数值问题的条件数，如果很大，将引起病态问题。避免误差危害：避免两个相近的数相减- 防止小数被大数“吃掉”，导致
有效数字损失。（大数和小数参与加减运算） - 注意
减少运算次数（如n阶多项式求和可以采用秦九韶算法降低乘法次数） 避免除绝对值很小的数- 选择
数值稳定的计算公式（注意数值稳定性）
三道大题
填空题10分
计算题 7道题，每张一道 80分 第一第三10 其他12分
最后证明10分
2.3-2.7不考
拟合最小而成
正交多项不考
积分4.7 4.8不考
第五章 都靠
迭代法 迭代公式证明收敛性，
第七章：证明几节收敛，